Математическое моделирование и вычислительная физика
Научные достижения
Предложено новое представление электромагнитного поля в волноводе, заполненном оптически неоднородным веществом, при помощи четверых скалярных потенциалов (обобщение теории функций Боргниса). Это позволило распространить на векторный случай методы аппроксимации, развитые для скалярных функций.
Разработан и имплементирован в систему компьютерной алгебры Sage метод вычисления группы автоморфизмов гиперэллиптической кривой. Исследована возможность имплантации методов теории абелевых интегралов, развитых Вейерштрассом, в систему компьютерной алгебры Sage.
Метод квадратизации энергии распространен на задачу многих тел, что позволило построить семейство неявных схем любого порядка, сохраняющих точно все алгебраические интегралы движения. Указаны геометрические препятствия к конструированию явных разностных схем, сохраняющих интегралы движения точно. Изучены особые случаи, для которых такие разностные схемы существуют. Построены разностные схемы, вычисления по которым можно продолжать за особые точки. Показано, что некоторые разностные схемы наследуют периодичность решения исходной дифференциальной задачи.
Разработаны методы, алгоритмы и создано программное обеспечение для эффективного решения задач интегрирования быстроосциллирующих функций.
Разработана компьютерная модель квантовых измерений атомных структур.
Разработана методика геометризации уравнений Максвелла. Данный подход предложен в качестве решения обратной задачи оптики.
Разработана методика стохастизации одношаговых процессов. Данный метод используется для получения моделей статистических и стохастических систем из первых принципов.
Найдены эффективные критерии устойчивости по Ляпунову многомерных солитонов в ядерной физике и теории гравитации.
Двухмерные и трехмерные топологические солитонные решения применены для описания углеродных нанотрубок и фуллеренов.
Исследовано наследование разностными схемами алгебраических интегралов динамических систем, в т.ч. найдены геометрические препятствия для наследования интегралов явными разностными схемами.
Методами степенной геометрии и нормальных форм проведено исследование сильно вырожденной системы нелинейных дифференциальных уравнений. Получены новые аналитические выражения для интегралов движения этой системы.
